10 klasės matematikos uždaviniai su atsakymais

Trupmeninė racionalioji lygtis — 10 klasė

Potemės: Trupmeninės racionaliosios lygties samprata, Lygčių sprendimas taikant trupmenos, lygios nuliui, savybę, Kiti trupmeninių lygčių sprendimo būdai, Judėjimo uždaviniai, Darbo uždaviniai, Mišiniai.

Kuri $x$ reikšmė nepriklauso lygties $\dfrac{6}{x - 5} = 5$ apibrėžimo sričiai?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas: $x = 5$
Vardiklis $x - 5$ lygus nuliui, kai $x = 5$ . Ties šia reikšme lygtis neapibrėžta.
Išspręsk lygtį $\dfrac{4}{x - 6} + 4 = 5$ , kai $x \ne 6$ .Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas: $x = 10$
$\dfrac{4}{x - 6} = 1$ , tad $x - 6 = \dfrac{4}{1} = 4$ ir $x = 10$ .
03
- A)Nes kelias visada yra trupmena
- B)Nes laikas skaičiuojamas $t = \dfrac{s}{v}$ , o nežinomasis dažniausiai yra greitis, tad atsiduria vardiklyje
- C)Nes laikas visuomet trumpesnis už vieną valandą
- D)Nes greitis niekada nebūna sveikasis skaičius
Kodėl judėjimo uždaviniuose dažnai gaunamos trupmeninės racionaliosios lygtys?Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas:B — Nes laikas skaičiuojamas $t = \dfrac{s}{v}$ , o nežinomasis dažniausiai yra greitis, tad atsiduria vardiklyje
Nežinomas greitis vardiklyje ir paverčia lygtį trupmenine racionaliąja.
04
- A) $\dfrac{1}{2x + 2}$
- B) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2}$
- C) $x + (x + 2)$
- D) $\dfrac{2}{x + 2}$
Pirmasis darbininkas darbą atlieka per $x$ valandų, antrasis — per $x + 2$ valandas. Kaip užrašomas jų bendras vienos valandos našumas?Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas:B — $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2}$
Sudedami našumai, o ne laikai; apibrėžimo sritis: $x \ne 0$ ir $x \ne -2$ .

Trigonometrijos pagrindai — 10 klasė

Potemės: Posūkio kampo sinusas, kosinusas ir tangentas, Sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės, Trikampio ploto skaičiavimo formulė, Sinusų teorema, Kosinusų teorema.

01
- A)Jie sutampa, tad abi funkcijos nesikeičia
- B)Jie simetriški $Oy$ ašies atžvilgiu, tad $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$ , o $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$
- C)Jie simetriški centro atžvilgiu, tad keičiasi abiejų ženklai
- D)Jie simetriški $Ox$ ašies atžvilgiu, tad keičiasi sinuso ženklas
Kaip vienetiniame apskritime susiję kampų $\alpha$ ir $180° - \alpha$ taškai?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas:B — Jie simetriški $Oy$ ašies atžvilgiu, tad $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$ , o $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$
Simetrija $Oy$ ašies atžvilgiu keičia tik $x$ koordinatės ženklą, o $y$ palieka tą pačią.
Apskaičiuok $\sin 150°$ . Atsakymą užrašyk trupmena.Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas: $\dfrac{1}{2}$
$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$ .
Lygiakraščio trikampio kraštinė $4$ cm. Jo plotas užrašomas pavidalu $k\sqrt{3}$ cm². Rask $k$ .Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $k = 4$
Visi kampai lygūs $60°$ , tad $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ .
Trikampio kraštinė $a = 14$ cm, o prieš ją esantis kampas lygus $30°$ . Naudodamas $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ , rask apibrėžto apskritimo spindulį $R$ (cm).Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas: $R = 14$ cm
$2R = \dfrac{14}{\sin 30°} = \dfrac{14}{0{,}5} = 28$ , tad $R = 14$ .

Lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos — 10 klasė

Potemės: Lygčių su dviem nežinomaisiais sistema ir jos sprendiniai, Atvirkštinio proporcingumo funkcija, Lygčių sistemų sprendimas grafiniu būdu, Lygčių sistemų sprendimas algebriniais būdais, Uždavinių sprendimas, sudarant lygčių sistemas, Lygčių sistemų sprendimas, įvedant keitinius.

Rask sveikųjų skaičių porą, tenkinančią sistemą $\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 10 \end{cases}$ . Užrašyk didesnįjį skaičių.Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas: $5$ (pora $(2; 5)$ )
Skaičiai yra lygties $t^2 - 7t + 10 = 0$ šaknys: $2$ ir $5$ .
Funkcijos $y = \dfrac{k}{x}$ grafikas eina per tašką $(-3; 8)$ . Rask $k$ .Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas: $k = -24$
$k = xy = (-3) \cdot 8 = -24$ ; kadangi $k < 0$ , šakos yra II ir IV ketvirčiuose.
Išspręsk sistemą $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ xy = 6 \end{cases}$ ir užrašyk sveikąją $x$ reikšmę.Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $x = 2$
Įrašę $y$ : $x(2x - 1) = 6$ , t. y. $2x^2 - x - 6 = 0$ ; šaknys $2$ ir $-1{,}5$ .
Stačiakampio plotas $120$ cm², o įstrižainė $17$ cm. Rask ilgesniąją kraštinę (cm).Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas: $15$ cm
Iš $\begin{cases} xy = 120 \\ x^2 + y^2 = 289 \end{cases}$ gauname $(x + y)^2 = 529$ , tad $x + y = 23$ ir kraštinės yra $8$ cm bei $15$ cm.

Nelygybės ir jų sistemos — 10 klasė

Potemės: Kvadratinės nelygybės samprata, Kvadratinės nelygybės sprendimas, remiantis parabolės savybėmis, Kvadratinės nelygybės keitimas nelygybių sistemomis, Kvadratinių nelygybių taikymas, Nelygybių sistemos ir dvigubosios nelygybės, Trupmeninių nelygybių sprendimas.

01
- A) $x^2 - 9 > 0$
- B) $x^2 = 9$
- C) $x - 9 > 0$
- D) $\dfrac{x^2 - 9}{x} > 0$
Kuri iš šių nelygybių yra kvadratinė, kurios kairioji pusė yra $x^2 - 9$ ?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas:A — $x^2 - 9 > 0$
Reiškinys turi likti kvadratinis, o ženklas — nelygybės, o ne lygybės.
02
- A)Atvejį, kai $a > b$
- B)Atvejį, kai abu dauginamieji neigiami
- C)Atvejį, kai vienas lygus nuliui
- D)Nepraleido nieko
Sąlygai $ab > 0$ mokinys užrašė tik $a > 0$ ir $b > 0$ . Kokį atvejį jis praleido?Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas:B — Atvejį, kai abu dauginamieji neigiami
Dviejų neigiamų skaičių sandauga taip pat teigiama, tad ta sistema būtina.
Kamuolio aukštis aprašomas $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ . Kokiu laiko momentu (sekundėmis) baigiasi laikotarpis, kai $h(t) > 16$ ?Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $t \in (1; 3)$ , pabaiga ties $t = 3$
Iš $-5t^2 + 20t + 1 > 16$ gauname $t^2 - 4t + 3 < 0$ , tad $1 < t < 3$ . Padalijus iš $-5$ nelygybės ženklas apsiverčia, todėl pertvarkytos parabolės šakos nukreiptos į viršų.
Išspręsk sistemą $x^2 - 5x + 6 \le 0$ ir $x > 0$ . Užrašyk mažesnįjį sprendinių intervalo galą.Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas: $x \in [2; 3]$
Pirmoji nelygybė duoda $2 \le x \le 3$ ; sąlyga $x > 0$ nieko nesiaurina, nes visas intervalas teigiamas.

Dėsningumai, santykiai ir procentai — 10 klasė

Potemės: Probleminės situacijos ir trūkstamos informacijos nustatymas, Proporcingoji dalyba į dvi nelygias dalis, Fibonačio skaičių seka, Aukso pjūvio skaičius ir aukso pjūvio seka, Sudėtiniai procentai, Džiovinimo ir drėkinimo uždaviniai, Lydiniai, mišiniai, tirpalai ir koncentracija.

Duota: $12$ kg, $40$ %, $12$ Eur/kg ir $2$ val. Iš šių duomenų atrink tik tuos, kurių reikia grynos medžiagos masei rasti, ir ją apskaičiuok (kg).Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas: $4,8$ kg
Reikia tik masės ir koncentracijos: $12 \cdot \dfrac{40}{100} = 4{,}8$ . Kaina ir laikas — pertekliniai duomenys.
Padalyk $144$ santykiu $5 : 7$ ir užrašyk didesniąją dalį.Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas: $84$ (dalys $60$ ir $84$ )
Iš viso $12$ dalys; viena dalis lygi $\dfrac{144}{12} = 12$ , tad dalys yra $60$ ir $84$ .
$5000$ Eur investicija $4$ metus auga po $6$ % per metus. Kokia bus galutinė suma (Eur)? Suapvalink iki šimtųjų.Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $\approx 6312,38$ Eur
$5000 \cdot 1{,}06^4 \approx 6312,38$ ; bendras padidėjimas yra apie $26{,}25\ \%$ , o ne $24\ \%$ .
Kiek kilogramų druskos yra $20$ kg $35$ % tirpale?Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas: $7$ kg
$20 \cdot 0{,}35 = 7$ .

Plokštumos figūros — 10 klasė

Potemės: Panašiųjų figūrų perimetrų ir plotų santykiai, Trikampio pusiaukampinių savybės, Trikampio pusiaukraštinių savybės, Į trikampį įbrėžtas apskritimas, Apie trikampį apibrėžtas apskritimas, Trikampio ploto formulės S = rp ir S = abc/(4R), Įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai keturkampiai, Geometrinių teiginių įrodymas.

01
- A) $3 : 5$
- B) $5 : 3$
- C) $36 : 100$
- D) $9 : 25$
Dviejų panašių daugiakampių plotai yra $72$ cm² ir $200$ cm². Koks jų perimetrų santykis?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas:A — $3 : 5$
$\dfrac{72}{200} = \dfrac{9}{25}$ , tad kraštinių ir perimetrų santykis yra $\sqrt{9} : \sqrt{25} = 3 : 5$ .
Brėžinyje trikampio pusiaukraštinės susikerta taške $G$ , o $AG = 10$ cm. Rask visą pusiaukraštinę $AM$ (cm).Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas: $AM = 15$ cm
$AG$ sudaro $\dfrac{2}{3}$ visos pusiaukraštinės, tad $AM = \dfrac{3 \cdot 10}{2} = 15$ cm.
Trikampio kraštinės $9$ cm, $12$ cm ir $15$ cm, o plotas $54$ cm². Rask įbrėžto apskritimo spindulį $r$ (cm).Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $r = 3$ cm, o $R = 7,5$ cm
$p = 18$ , tad $r = \dfrac{54}{18} = 3$ ; iš kitos formulės $R = \dfrac{1620}{216} = 7{,}5$ .
Apibrėžtinio keturkampio kraštinės yra $6$ , $9$ , $11$ ir $x$ . Rask $x$ ir patikrink būtinąją savybę: kokia yra abiejų priešingų kraštinių porų suma?Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas: $x = 8$ , o abi sumos lygios $17$
$6 + 11 = 17$ ir $9 + 8 = 17$ — sumos sutampa, tad apskritimą įbrėžti galima.

Duomenys ir jų interpretavimas — 10 klasė

Potemės: Populiacija, imtis ir pagrįstos išvados, Duomenų kintamumas ir pasiskirstymas, Dispersija ir standartinis nuokrypis, Normalusis, simetriškasis ir asimetriškasis skirstiniai, Duomenų centro ir sklaidos charakteristikų interpretavimas, Statistinis patikimumas.

01
- A)Apklausti vieno bendrabučio gyventojus
- B)Apklausti tuos, kurie ateina anksčiausiai
- C)Atsitiktinai atrinkti studentus iš viso sąrašo, išlaikant kursų ir fakultetų proporcijas
- D)Paskelbti apklausą socialiniame tinkle ir laukti savanorių
Universitetas nori įvertinti $12\,000$ studentų kelionės į paskaitas laiką. Kuris imties sudarymo būdas pagrįstas?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas:C — Atsitiktinai atrinkti studentus iš viso sąrašo, išlaikant kursų ir fakultetų proporcijas
Kiti trys būdai iš anksto atrenka panašius studentus, tad kelionės laikas juose būtų sistemingai kitoks.
02
- A)Iš brėžinio nustatyti negalima
- B)Antrajame
- C)Pirmajame
- D)Abiejuose vienoda
Brėžinyje pavaizduoti du rinkiniai su tuo pačiu centru. Kuriame sklaida didesnė?Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas:B — Antrajame
Abiejų centras yra apie $6$ , bet antrojo taškai nusidriekę per visą ašį.
03
- A)Jie lygūs
- B)Vidurkis didesnis už medianą, nes didelės reikšmės jį patraukia į dešinę
- C)Ryšio nėra
- D)Vidurkis mažesnis už medianą
Histograma turi ilgą dešiniąją uodegą. Kaip tada susiję vidurkis ir mediana?Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas:B — Vidurkis didesnis už medianą, nes didelės reikšmės jį patraukia į dešinę
Mediana priklauso tik nuo reikšmių vietos eilėje, o vidurkis jautrus tolimoms reikšmėms.
04
- A)Ta grupė dirba ilgiau
- B)Toje grupėje yra keli labai dideli atlyginimai, kurie patraukia vidurkį, bet medianos beveik nekeičia
- C)Medianos apskaičiuotos klaidingai
- D)Toje grupėje daugiau darbuotojų
Dviejų darbuotojų grupių atlyginimų medianos vienodos, bet vienoje grupėje vidurkis daug didesnis. Kokia galima priežastis?Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas:B — Toje grupėje yra keli labai dideli atlyginimai, kurie patraukia vidurkį, bet medianos beveik nekeičia
Kelios didelės reikšmės keičia sumą, o kartu ir vidurkį, bet vidurinės reikšmės vietos beveik nepajudina.

Rinkiniai, kombinatorika ir tikimybės — 10 klasė

Potemės: Kelių elementų rinkiniai, Elementų tvarka rinkinyje, Rinkinių skaičiaus apskaičiavimas, Kombinatorikos sudėties taisyklė, Kombinatorikos daugybos taisyklė, Teorinė ir eksperimentinė tikimybė, Ilgalaikis santykinis dažnis.

Iš spalvų $\{$ raudona; mėlyna $\}$ ir dydžių $\{S; M; L\}$ sudaromi visi spalvos ir dydžio rinkiniai. Kiek jų yra?Uždavinio 1 atsakymas
Atsakymas: $6$ rinkiniai
Kiekvieną iš dviejų spalvų galima derinti su bet kuriuo iš trijų dydžių: $2 \cdot 3 = 6$ .
02
- A)Nes atsitiktinis sąrašas visada teisingas
- B)Nes sąrašas tampa trumpesnis
- C)Nes taip nereikia jokių formulių
- D)Nes einant nustatyta tvarka matyti, kurios baigtys jau surašytos ir kurių dar trūksta
Kodėl sistemingas baigčių sąrašo sudarymas padeda išvengti praleidimų?Uždavinio 2 atsakymas
Atsakymas:D — Nes einant nustatyta tvarka matyti, kurios baigtys jau surašytos ir kurių dar trūksta
Tvarkingas surašymas kartu leidžia patikrinti ir formule gautą atsakymą.
Kelionė galima $5$ tiesioginiais autobusais arba $2$ tiesioginiais traukiniais, tačiau vienas autobusų maršrutas dėl remonto netinka. Kiek tinkamų pasirinkimų lieka?Uždavinio 3 atsakymas
Atsakymas: $6$
Iš viso būtų $5 + 2 = 7$ , bet vienas netinka: $6$ .
04
- A)Taip, jei moneta sąžininga
- B)Ne — dažnis bus arti $0{,}5$ , bet tikslus skaičius beveik niekada nesutampa
- C)Taip — to reikalauja tikimybės apibrėžimas
- D)Ne — herbų visada būna mažiau
Ar po $10\,000$ monetos metimų privalo būti lygiai $5000$ herbų?Uždavinio 4 atsakymas
Atsakymas:B — Ne — dažnis bus arti $0{,}5$ , bet tikslus skaičius beveik niekada nesutampa
Tikimybė nusako ilgalaikę tendenciją, o ne kiekvieno konkretaus bandymų rinkinio rezultatą.

10 klasės matematikos uždaviniai